Question

已知：直线l₁与直线l₂平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l₁上的两个定点，C、D是直线l₂上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A₁BC．

（1）求四边形ABDC的面积．

（2）当A₁与D重合时，四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？

（3）当A₁与D不重合时：①连接A₁、D，求证：A₁D∥BC；②若以A₁，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）²的值．

Answer

（1）10；（2）四边形ABDC是菱形；（3）①证明见解析；②45或49．

【解析】（1）根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
（2）根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
（3）①连结A1D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A1CD≌△A1BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A1D∥BC；
②讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A1CBD=10，即ab=10，由BA1=BA=5，根据勾股定理得到a2+b2=25，然后根据完全平方公式进行计算；
当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，所以（a+b）2=（2+5）2．

解（1）∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10；
（2）∵四边形ABDC是平行四边形，
∵A1与D重合时，
∴AC=CD，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴四边形ABDC是菱形；
（3）①连结A1D，如图所示，

∵△ABC沿BC折叠得到△A1BC，
∴CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，
在△A1CD和△A1BD中
CA1=BD，CD=BA1，A1D=A1D，
∴△A1CD≌△A1BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A1D∥BC；
②当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A1CB=S△ABC=×2×5=5，
∴S矩形A1CBD=10，即ab=10，
而BA1=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45；
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴（a+b）2的值为45或49．

“点睛”本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．