Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则 cos∠MCN=______．

Answer

【解析】∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，

连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°

在Rt△ABC与Rt△ADC中， ，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴∠BAD=60°，BC=AC，∴∠BCD=120°，

∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，

在Rt△BMC中，CM= = =2，

∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，

过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，

∴cos∠MCN= = .

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、解直角三角形是解决本题的关键．