Question

如图边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P

（1）若AG=AE,证明:AF=AH;

（2）若矩形PFCH的面积，恰矩形AGPE面积的两倍，试确定HAF的大小；

（3）若矩形EPHD的面积为，求RtGBF的周长.

Answer

（1）证明见解析；

（2）HAF为45°；

（3）RtGBF的周长是1.

【解析】试题分析：（1）连接AF、AH，通过证明△ABF≌△ADH即可得；

（2）设AG=a,BG=b,AE=x,ED=y,根据正方形边长相等及矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的两倍，通过推导可得出a+x=FH,即DH+BF=FH，延长CB到M，使BM=DH,连接AM,通过证明△AMF≌AHF从而得出∠HAF的大小；

（3）连接GF，设BG=x，BF=y，则，由已知可得（1-x）（1-y）=，从而得继而可得，即RtGBF的周长为1

试题解析：（1）连接AF、AH，由题意知四边形AGHD与四边形AEFB均为矩形，

∴AG=DH，AE=BF，

∵AG=AE，

∴DH=BF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ADH与Rt△ABF中，AB=AD，∠B=∠D=90°，BF=DH，

∴△ABF≌△ADH，

∴AF=AH；

(2) ∠HAF=45°,证明如下：

设AG=a,BG=b,AE=x,ED=y,则

由a+b=x+y得a-x=y-b,两边平方得

把2ax=by代入得，即

因为

所以a+x=FH,即DH+BF=FH

延长CB到M，使BM=DH,连接AM,

因为Rt△ABM≌Rt△ADH，

所以AM=AH, ∠MAB=∠HAD,

则∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°,

又可证△AMF≌AHF,则∠MAF=∠HAF=∠MAH=45°.

（3）连接GF，设BG=x，BF=y，则，

∴（1-x）（1-y）=，∴xy-x-y+1=，∴xy-x-y=-

∴x2+y2=x2+y2+1+2xy-2x-2y

∴ 得

即RtGBF的周长为1

点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质、勾股定理等，能正确地根据已知以及所要求解的问题设出未知数，通过运算得出解决问题的方法及结论是解题的关键.