Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且=PE•PO．

（1）求证：PC是⊙O的切线．

（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，如图，由=PE•PO和公共角可判断△PCE∽△POC，则∠PEC=∠PCO=90°，然后根据切线的判定定理可判断PC是⊙O的切线；

（2）设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，证明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，则可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半径．

试题解析：（1）证明：连结OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∵=PE•PO，∴PC：PO=PE：PC，而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；

（2）【解析】
设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE∽△OPC，∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3，即⊙O的半径为3．

考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的判定．