Question

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

Answer

（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】【解析】
（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴2∠BCP+2∠BCA=180°。

∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。

又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。

（2）如图，作BD⊥AC于点D，

∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。

∵C=2，sin∠BCP=

∴，解得：DC=2。

∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。

（3）如图，连接AN，

在Rt△ACN中，，

又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。

∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。

∴，即。∴。

在Rt△ACP中，。

∴△ACP的周长为。

（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。

（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。

（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长