Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且），得到Rt△.

（1）如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；

（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，联结BE.

①当时，设AD=，BE=，求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围；

②当时，求AD的长.

Answer

（1）＝;（2）① （0﹤﹤2）;②AD=1或.

【解析】（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得y=x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2．

【解析】
（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．

由旋转可知：，，

∴△为等边三角形．

∴＝．

（2）① 当时，点D在AB边上（如图）.

∵ DE∥，∴ .

由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.

∴ ∴ .

∴ △CAD∽△CBE.

∴.∵∠A=30° ∴ .

∴（0﹤﹤2）

②当时，点D在AB边上

AD=x，，∠DBE=90°.

此时，.

当S =时，.整理，得 .

解得 ，即AD=1.

当时，点D在AB的延长线上（如图）.

仍设AD=x，则，∠DBE=90°.

.

当S =时，.

整理，得 .

解得 ，（负值，舍去）.

即.

综上所述：AD=1或.

“点睛”本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．