Question

如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm，点P在CD边上，AP=AB，    PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．

（1）求AB的长；

（2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M和点N的运动时间为，求S与的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若点M和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer

（1）10；（2）时，S取得最大值为45．（3）点M、N在运动过程中，线段EF的长度不变，长度为．

【解析】试题分析：（1）设AB=x，根据折叠可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；（2）过点M作MG⊥AN于点G，则∠AGM=∠D＝90°，所以∠APD=∠MAG，则Rt△APD∽Rt△MAG，所以，即，可得出， 又因为，所以 ，则当时，S取得最大值为45；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据MH⊥PQ，得出HQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，最后代入HF=PB即可得出线段EF的长度不变；

试题解析：

（1）设AB= ，则AP= ，DP= ，

在Rt△ADP中， 由勾股定理得：

，

解得： ，

∴AB =10．

（2）过点M作MG⊥AN于点G，则∠AGM=∠D＝90°，

∵DC∥AB，

∴∠APD=∠MAG，

∴Rt△APD∽Rt△MAG，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴当时，S取得最大值为45．

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，

∴∠APB=∠MQP，

∴MP=MQ，

∵ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ，

∵BN=PM，PM=MQ，

∴BN=QM，

∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

∵，

∴△MFQ≌△NFB，

∴QF=BF，

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

在Rt△PBC中，

∵PC=4，BC=8，

∴，

∴EF=PB=，

∴点M、N在运动过程中，线段EF的长度不变，长度为．

【点睛】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．