Question

如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点P为BC的中点，连接EP， AD.

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，∠B＝30°，求P点到直线AD的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】分析：（1）先作辅助线，连接EC,AP,PO.根据直径所对的圆周角为直角可得，根据p为BC中点，可得.由OP=OP可证△OPE△≌△OPC，推出 根据切线性质，所以PE是⊙O的切线。

（2）P点到直线AD的距离为d，根据等边三角形的判定可得△𝑂𝐸𝐴为等边三角形，得到∠EOA=60°,再由勾股定理计算结果.

本题解析：（1）证明：如图，连接EC,AP,PO.

AC为的直径， .

又 为的斜边的中点，

.

在△OPE和△OPC中， △OPE△≌△OPC（）,

即

PF是⊙O的切线.

(2)设P点到直线AD的距离为，记△PAD的面积为 (下同)，

则有： ,

.①

⊙O的半径为3，

由勾股定理得

分别为的中点，

∥,

△为正三角形， .

,

又

在中，由勾股定理得： .

将以上数据代入①式得：