Question

如图，已知，在Rt 中，斜边， ,点P为边AB上一动点（不与A,B重合），PQ平分交边BC于点Q， 于于N.

（1）当AP=CP时，求；

（2）若 ，求CQ；

（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与的面积相等？

Answer

（1）；（2）；（3）时，四边形PMQN与的面积相等

【解析】分析：（1）由PQ为平分线，AP=CP,可得:PQ∥AC,再由AC⊥BC,PQ⊥BC，可得∠PCQ=∠PBQ即PC=PB，即可解出.(2)由△ABC的面积可得出PC的长，再由勾股定理列方程求出PB的长，MQ//PC推出 △BMQ∽△BPC，根据相似三角形性质解出结果；（3）（3）根据四边形PMQN和三角形△BPQ的面积相等得到QM是BP的垂直平分线，再由△CPQ∽△CBP即可作答.

本题解析：（1）在Rt 中，斜边， ，

, .

,

又∵PQ是∠BPC的平分线,

∴

又∵,

为中点，

（2），

得： ,

设由勾股定理可列方程： ,

解得：

又 ,

,

（3）由角平分线性质易得， ,

即.∴QM是BP的垂直平分线,

∴∠QPB=∠PBQ.∵∠QPB=∠CPQ∴∠PBQ=∠CPQ.

又∵∠PCQ=∠BCP,∴.

,

,得

再由式得，

,