Question

如图，已知点，二次函数的对称轴为直线，其图象过点与轴交于另一点，与轴交于点.

（1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标；

（2）动点同时从点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的边上运动，设其运动的时间为秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连结，将沿翻折，若点恰好落在抛物线弧上的处，试求的值及点的坐标；

（3）在（2）的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，试说明理由.

Answer

（1），顶点坐标为；（2）， ；（3）存在， ， ， .

【解析】（1）由抛物线对称轴为-1，并过点A(3,0)可求出a、b,从而求出抛物线解析式和顶点坐标.

(2)由A,B,C坐标可得出∠CBA=60°再由BM=BN推出△MBN是正三角形,翻折后△BMN≌ 推出M∥MB从而得到（1-3t, t）,把代入即可求解。

（3）分两种情况讨论点P的存在性，即点P在x轴上；和点P在y轴上.

解:(1)由题意得， ，解得：

二次函数的解析式为

,其顶点坐标为.

(2)由题意知， ,

又 ,△是正三角形. .

将沿翻折后， ,

.

若点在抛物线上，则有

化简得： ， .

此时， ， .

（3）由题意可得为直角三角形，

且又.

分二种情况讨论：

1),当在轴上时，过作轴于,则,此时; 过作轴于,则,此时; 在轴上其他位置时，三角形不为直角三角形，不可能与相似.

2),同理，当点在y轴上时,设轴于，则，此时;过作交y轴于,但则不相似， 在轴上其他位置时，三角形不为直角三角形，不可能与相似.