Question

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．

（1）求证：DE=DF；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，DE=4，求CF的长．

Answer

（1）证明见解析；

（2）CF的长为2+

【解析】试题分析：（1）本题利用垂直平分线的性质，角平分线的性质得出结论，证明四边形BFDE为菱形即可；（2）本题要根据菱形得出三角形DFC的角的度数，作垂直构造特殊的三角形解决问题即可.

试题解析：（1）证明：∵EF垂直平分BD，

∴EB=ED，FB=FD．

∵BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠ABD=∠CBD．

∵∠ABD+∠BEG=90°，∠CBD+∠BFG=90°，

∴∠BEG=∠BFG．

∴BE=BF．

∴四边形BFDE是菱形．

∴DE=DF．

（2）【解析】
过D作DH⊥CF于H．

∵四边形BFDE是菱形，

∴DF∥AB，DE=DF=4．

在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，

∴DH=2．

∴FH=．

在Rt△CDH中，∠C=45°，

∴DH=HC=2．

∴CF=2+．