Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．

（1）依题意将图1补全；

（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

Answer

（1）将图1补全见解析；

（2）证明见解析；

（3）数量关系：当点F在AC边上时， ；

当点F在AC延长线上时， ．

【解析】试题分析：（1）根据要求画出图形即可；（2）选择一种自己比较熟练的方法进行证明即可；（3）本题分点F在AC边上，点F在AC延长线上，两种情况分析即可.

试题解析：【解析】
（1）如图1，

（2）

想法1证明：如图2，过D作DG∥AB，交AC于G，

∵点D是BC边的中点，

∴DG=AB．

∴△CDG是等边三角形．

∴∠EDB+∠EDG=120°．

∵∠FDG+∠EDG=120°，

∴∠EDB =∠FDG．

∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，

∴△BDE≌△GDF．

∴DE=DF．

想法2证明：如图3，连接AD，

∵点D是BC边的中点，

∴AD是△ABC的对称轴．

作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，

∴△ADE≌△ADP．

∴DE=DP，∠AED=∠APD．

∵∠BAC+∠EDF=180°，

∴∠AED+∠AFD=180°．

∵∠APD+∠DPF=180°，

∴∠AFD=∠DPF．

∴DP=DF．

∴DE=DF．

想法3证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，

∵点D是BC边的中点，

∴AD平分∠BAC．

∵DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，

∴DM=DN．

∵∠A=60°，

∴∠MDE+∠EDN=120°．

∵∠FDN+∠EDN=120°，

∴∠MDE=∠FDN．

∴Rt△MDE≌Rt△NDF．

∴DE=DF．

（3）当点F在AC边上时， ；

当点F在AC延长线上时， ．

点睛：本题的关键是等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质得出结论，虽然本题的内容较多但是题目难度并不大，所以要认真读题，第三问的问题要画出两种情况的图形，利用三角形全等的出结论即可.