Question

在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．

（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数；

（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；

（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1， ），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．

Answer

（1）视角∠AOB的度数是120°；

（2）Q的坐标（，﹣1）；

（3）a的取值范围是0＜a＜2．

【解析】试题分析：（1）∵A（﹣，1），B（，1），∴OA、OB与y轴的夹角都为60°，所以根据视角的定义的出视角∠AOB的度数是120°；（2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ，即可构造出等边三角形，得出视角为60°的时点Q的坐标即可；（3）当点Q与点O重合时，a取最小值，当FQ⊥x轴时，a取最大值.

试题解析：【解析】
（1）120°；

（2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．

∵AB=2，BC=2，

∴AC=4．

∴∠ACQ=60°．

∴△ACQ为等边三角形，

即∠AQC=60°．

∵CQ=AC=4，

∴Q（，﹣1）．

（3）如图2，当点Q与点O重合时，∠EQF=60°，

∴Q（0，0）．

如图3，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，

∴Q（2，0）．

∴a的取值范围是0＜a＜2．

点睛：本题的关键是理解视角的定义，然后根据定义求出题目的要求，三角函数求出度数，第三问里要注意切线的位置的特殊性，利用切线的性质求出视角，近而得出Q点横坐标的取值范围内的数值即可.