Question

如图，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于E

(1) 求证：AO⊥EO

(2) 连接DF，求tan∠FDE的值

Answer

（1）证明见解析；

（2）tan∠FDE的值是

【解析】试题分析：(1)、根据切线的性质得出∠BAO＝∠FAO，∠CEO＝∠FEO，根据四边形的性质得出∠BAE＋∠CEA＝180°，从而说明∠DAF＋∠OEF＝90°，得出垂直；(2)、设OB＝OC＝2，则AB＝4，根据△AOB和△OEC全等得出CE＝EF＝1，DE＝3，AE＝5，过点F作FG⊥DE于G，则FG∥AD，根据平行线截线段成比例得出FG、EG和DG的长度，最后根据三角函数的计算法则得出答案.

试题解析：(1) ∵∠ABC＝∠DCB＝90° ∴AD、CD均为半圆的切线

连接OF ∵AE切半圆于E ∴∠BAO＝∠FAO，∠CEO＝∠FEO ∵∠BAE＋∠CEA＝180°

∴∠DAF＋∠OEF＝90° ∴∠AOE＝90° ∴AO⊥EO

(2) 设OB＝OC＝2，则AB＝4 ∵Rt△AOB∽Rt△OEC ∴CE＝EF＝1，DE＝3，AE＝5

过点F作FG⊥DE于G ∴FG∥AD

∴ 即 ∴FG＝，EG＝，DG＝ ∴tan∠FDE＝