Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²－4x－5与x轴分别交于A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，直线AP与y轴正半轴交于点M，交抛物线于点P，直线AQ与y轴负半轴交于点N，交抛物线于点Q，且OM＝ON，过P、Q作直线l

(1) 探究与猜想：

① 取点M(0，1)，直接写出直线l的解析式

   取点M(0，2)，直接写出直线l的解析式

② 猜想：

我们猜想直线l的解析式y＝kx＋b中，k总为定值，定值k为__________，请取M的纵坐标为n，验证你的猜想

(2) 如图2，连接BP、BQ．若△ABP的面积等于△ABQ的面积的3倍，试求出直线l的解析式

Answer

（1）①PQ：y＝6x－29，PQ：y＝6x－26；

（2）k＝6；

（3）直线PQ的解析式为y＝6x－21

【解析】试题分析：(1)、①、首先根据二次函数解析式得出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线l的解析式；②、设设M(0，n)，然后分别求出直线AP和AQ的解析式，然后根据直线与抛物线的交点求出点P和点Q的坐标，从而得出直线PQ的解析式，得出k的值；(2)、根据三角形的面积关系得出点P的坐标，从而得出直线PQ的函数解析式.

试题解析：(1) ① P(6，7)、Q(4，－5)，PQ：y＝6x－29

② 设M(0，n) AP的解析式为y＝nx＋n AQ的解析式为y＝－nx－n

联立，整理得x2－(4＋n)x－(5＋n)＝0

∴xA＋xP＝－1＋xP＝4＋n，xP＝5＋n 同理：xQ＝5－n

设直线PQ的解析式为y＝kx＋b

联立，整理得x2－(4＋k)x－(5＋b)＝0 ∴xP＋xQ＝4＋k

∴5＋n＋5－n＝4＋k，k＝6

(3) ∵S△ABP＝3S△ABQ ∴yP＝－3yQ ∴kxP＋b＝－3(kxQ＋b) ∵k＝6 ∴6xP＋18xQ＝－b

∴6(5＋n)＋18(5－n)＝4b，解得b＝3n－30

∵xP·xQ＝－(5＋b)＝－5－3n＋30＝(5＋n)(5－n)，解得n＝3 ∴P(8，27)

∴直线PQ的解析式为y＝6x－21

点睛：本题主要考查的就是一次函数与二次函数的交点问题以及点的坐标之间的关系.解决一次函数和二次函数的交点问题时，我们需要将一次函数和二次函数联立成一元二次方程，从而求出方程的解，得出函数的交点坐标.在点坐标不确定的情况下，我们需要将设出的点看成已知数，然后利用待定系数法将函数解析式用未知数来表示，然后根据线段之间的关系求出未知数的值.