Question

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在的正半轴上，点B的坐标为(3,4)一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD= BE.点M是线段DE上的一个动点.

(1)求b的值；

(2)连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；

(3)设点N是轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标.

Answer

（1）；

（2）M(1, )；

（3）当四边形OMDN是菱形时，M(,)N(,)

【解析】分析：（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．

本题解析：(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，

把E的坐标代入y=x+b得4−b=−2+b，

解得：b=3；

(2) ，

∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，

∴ .

设M的横坐标是a,则 ×3a=1.5，解得：a=1,

把x=a=1代入y=x+3得y=×+3= .

则M的坐标是(1, )；

(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，

则M的坐标是(,)，

则N的坐标是(−,)；

当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3,设M的横坐标是m,则纵坐标是m+3，则，

解得：m=或0(舍去).

则M的坐标是(,).

则DM的中点是(,).

则N的坐标是(,).

故N的坐标是(−,)或(,).

点睛：本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题考查了菱形的判定方法，正确运用菱形的性质求出M的坐标是关键.