Question

已知二次函数y=ax²+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b²﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

Answer

B

【解析】【解析】
∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴左边，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c+2＞2，

∴c＞0，

∴abc＞0，

∴结论①不正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，

∴△=0，

即b2﹣4a（c+2）=0，

∴b2﹣4ac=8a＞0，

∴结论②不正确；

∵对称轴x=﹣=﹣1，

∴b=2a，

∵b2﹣4ac=8a，

∴4a2﹣4ac=8a，

∴a=c+2，

∵c＞0，

∴a＞2，

∴结论③正确；

∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，

∴x=﹣2时，y＞2，

∴4a﹣2b+c+2＞2，

∴4a﹣2b+c＞0．

∴结论④正确．

综上，可得

正确结论的个数是2个：③④．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．