Question

如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=48，求AC的长；

(3)在满足(2)的条件下，若AF：FD=1：2，GF=2，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

Answer

（1）证明见解析;（2）AC=;（3）⊙O半径为6,sin∠ACE=.

【解析】分析:（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出，求出AC即可；

（3）先求出AF的长，根据勾股定理得： ，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

本题解析：（1）证明：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90° ∴∠CAD+∠ADC=90°。

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90° ∴PA⊥OA。

又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。

（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。

又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。

又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。 ∴，即AC2=AG•AB。

∵AG•AB=12，∴AC2=48。∴AC=。

（3）设AF=x， ∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=48。

解得；x=4。 ∴AF=4，AD=12。∴⊙O半径为6。

在Rt△AFG中，∵AF=4，GF=2，

∴根据勾股定理得：

由（2）知，AG•AB=48

连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=12， ∴sin∠ADB= 。

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=.