Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A(﹣2，0)和B(8，0)两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

(3)在(2)的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）;（2）OD=2；（3）①tan∠FDE=；②存在,点G的坐标为（4，﹣）或（6，12）．

【解析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；
（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，可求得tan∠FDE== ;②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为，即可设出直线DG1的解析式为，直线DG2的解析式为y=3x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．

本题解析：（1）如图1，∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，

∴ 解得．

∴抛物线解析式为：

（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，4）， ∴F的纵坐标为4，

把y=4代入， 解得x=0或x=6， ∴F（6，4）， ∴OH=6，

∵∠CDE=90°， ∴∠ODC+∠EDH=90°， ∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=4， ∴OD=6﹣4=2；

（3）①如图3，连接CE， ∵△OCD≌△HDE， ∴HE=OD=2，

∵BF=OC=4， ∴EF=4﹣2=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆， ∴∠ECF=∠EDF，

在RT△CEF中，∵CF=OH=6， ∴tan∠ECF== ， ∴tan∠FDE=；

②如图4，连接CE， ∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，

过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°

∵EH=2，OH=6， ∴E（6，2），

∵C（0，4）， ∴直线CE的解析式为，

设直线DG1的解析式为，

∵D（2，0）， ∴，解得m＝， ∴直线DG1的解析式为，

当x=6时， ∴G1（6，﹣）；

设直线DG2的解析式为y=3x+n，

∵D（2，0）， ∴0=3×2+n，解得n=﹣6， ∴直线DG2的解析式为y=3x﹣6，

当x=6时，y=3×6﹣6=12， ∴G2（6，12）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，﹣ ）或（6，12）．

点睛：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题关键.