Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是________________

Answer

5

【解析】试题分析：AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，

∴PN=PE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，

∵E为AB的中点， ∴N在AD上，且N为AD的中点， ∵AD∥CB， ∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，

∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点， ∴AN=CF， ∴△ANP≌△CFP（ASA）， ∴AP=CP，

即P为AC中点， ∵O为AC中点， ∴P、O重合， 即NF过O点， ∵AN∥BF，AN=BF，

∴四边形ANFB是平行四边形， ∴NF=AB， ∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4，由勾股定理得：AB=5，

考点：（1）、菱形的性质；（2）、对称性的应用；（3）、三角形全等