Question

小明在数学活动课上，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由．

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长．

Answer

【解析】
（1）AD=CF。理由如下：

在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。

在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，

∴△AOD≌△COF（SAS）。

∴AD=CF。

（2）与（1）同理求出CF=AD，

如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，

∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2。

∴DG=OG=OE=×2=1。

∴AG=AO+OG=3+1=4，

在Rt△ADG中， ，

∴CF=AD=。

【解析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。

（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD。