Question

如图，互相垂直的两条射线OE与OF的端点O在三角板的内部，与三角板两条直角边的交点分别为点D、B．

（1）填空：若∠ABO=50°，则∠ADO=　　；

（2）若DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线，如图1．求证：DC⊥BP；

（3）若DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线，如图2．猜想DC与BP的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）130°；（2）证明见解析，（3）DC与BP互相平行．理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由四边形的内角和为360°即可得；

（2）如图1，延长DC交BP于G，由∠OBA+∠ODA=180°、∠OBA+∠ABF=180°可得∠ODA=∠ABF，再由DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线，从而可得∠CDA=∠CBG，再由∠DCA=∠BCG，继而可得∠BGC=∠A=90°，即得DC⊥BP；

（3）DC与BP互相平行．如图2，作过点A作AH∥BP，则可得∠ABP=∠BAH，由∠OBA+∠ODA=180°，可得∠ABF+∠ADE=180°，再由DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线，从而可得∠ADC+∠ABP=90°，进而可得∠DAH=∠ADC，从而可得CD∥AH，最后得CD∥BP．

试题解析：（1）如图1，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，

在四边形OBAD中，∠A=∠BOD=90°，∠ABO=50°，

∴∠ADO=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°；

故答案为：130°；

（2）如图1，延长DC交BP于G，

∵∠OBA+∠ODA=180°，而∠OBA+∠ABF=180°，∴∠ODA=∠ABF，

∵DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线，∴∠CDA=∠CBG，

而∠DCA=∠BCG，∴∠BGC=∠A=90°，∴DC⊥BP；

（3）DC与BP互相平行．

理由：如图2，作过点A作AH∥BP，则∠ABP=∠BAH，

∵∠OBA+∠ODA=180°，∴∠ABF+∠ADE=180°，

∵DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线，∴∠ADC+∠ABP=90°，

∴∠ADC+∠BAH=90°，

而∠DAH+∠BAH=90°，∴∠DAH=∠ADC，∴CD∥AH，∴CD∥BP．

点睛：本题主要考查四边形的内角和、平行线的性质与判定，角平分线的定义等，能正确地识图并且添加适当的辅助线是解决问题的关键.