Question

在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上。

（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB的中点，则此时矩形CDEF的面积为_________；

（2）如图2，若=，求矩形CDEF面积的最大值。

Answer

（1）S矩形CDEF=16；

（2）矩形CDEF面积的最大值为。

【解析】试题分析：（1）因为当C、D是边AO，OB的中点时，点E、F都在边AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，进而求出CF的值，矩形CDEF的面积可求出；

（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长，进而表示出矩形CDEF的面积，再配方可求出面积的最大值．

试题解析：

（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，

点E、F都在边AB上，且CF⊥AB。

∵OA=OB=8，

∴OC=AC=OD=4。

∵∠AOB=90°，

∴CD=4。

在Rt△ACF中，

∵∠A=45°，

∴CF=2，

∴S矩形CDEF=4×2=16。

（2）设CD=x，CF=y。过F作FH⊥AO于H。在Rt△COD中，

∵tan∠CDO=，

∴sin∠CDO=，cos∠CDO=，

∴CO=x

∵∠FCH+∠OCD=90°，

∴∠FCH+∠CDO，

∴HC=y·cos∠FCH=y，

∴FH=y。

∵△AHF是等腰直角三角形，

∴AH=FH=y，

∴AO=AH+HC+CO。

∴，

∴y=（40-4x）

易知S矩形CDEF=xy=（40x-4x2）=- [（x-5）2-25]，

∴当x=5时，矩形CDEF面积的最大值为.