Question

定义：如图l所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P。若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”。

问题：如图2所示，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在射线y=x（x≥0）上。

（1）在点C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成为线段OA的“三足点”的是__________.

（2）若第一象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，求点B的坐标。

（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转180°后停止，设点K出发后转过的角度为（0°< ≤180°），若线段OB与AK不存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是_______________。

Answer

（1）D、E；

（2）B（3，3）。

（3）30°< <90°或=150°。

【解析】试题分析：(1)  用排除法判断; (2) 由题意可知 Q 点既为线段 OA 的“三足点”，又是线段 OB 的“强三足点”，则点 Q 须满足在 OA 和 OB 的垂直平分线上，且∠QOB =30°．

 y=x 与 x 轴的夹角为 30°．∴∠QOA=60° ．设点 Q 的坐标为 (m,n)，Q 点在 OA 的垂直平分线上，故m=， ，QB=QO= ，所以B(．

 (3)  这个圆正好过O、Q点，F点坐标为（，0）由于三足点存在要求等腰三角形顶角≤120度，通过画图可以算出a的范围为：30°