Question

（1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理．

已知：如图1，DE是△ABC的中位线．

求证：　          　．

证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；

请继续完成证明过程：

（2）【问题解决】

如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．

（3）【拓展研究】

如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Answer

（1）DE∥BC，DE=BC,证明见解析;（2）5; (3) ．

【解析】（1）分析：根据三角形的中位线定理填写即可；利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．(2)由，正方形性质及E为AD 中点得出△ADE≌△CFE，由全等三角形推出，EF垂直平分GH，从而求解.(3) 过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．

（1）DE∥BC，DE=BC

证明：在△ADE和△CFE中， ，∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，

∴四边形BCFD是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC．

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，

∵E为AD中点，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=，

∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，∴△PDH为等腰直角三角形，

∴PD=PH=3，∴PF=PD+DF=3+2=5，

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，

∴HF= == ∴GF=．

点睛;本题考查了四边形的综合应用，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理；本题考查知识点较多综合性较强，难度较大.