Question

如图，在平面直角坐标系中，AM、DM分别平分∠BAC，∠ODE，且∠MDO﹣∠MAC=45°，AB交y轴于F：

①猜想DE与AB的位置关系，并说明理由；

②已知点A（﹣4，0），点B（2，2），点C（3，0），点D（0，4），点E（6，6）．坐标轴上是否存在点P，使得△PDE的面积和△BDE的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标，不用说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）DE∥AB，理由见解析；

（2）点P的坐标为（0， ）或（0， ）

【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质，求出∠EDO=2∠MDO，∠BAC=2∠MAC，然后根据∠MDO﹣∠MAC=45°求得∠EDO=∠BFC，从而根据同位角相等，两直线平行，可得结论；

（2）设AB所在直线解析式为：y=kx+b，根据待定系数法可求出解析式，然后根据三角形的面积，结合直线的平移可得到P点的坐标.

试题解析：（1）DE∥AB，理由如下：

∵AM、DM分别平分∠BAC，∠ODE，

∴∠EDO=2∠MDO，∠BAC=2∠MAC，

∵∠MDO﹣∠MAC=45°，

∴2∠MDO﹣2∠MAC=90°，即∠EDO﹣∠BAC=90°，

∵∠BFC=∠BAC+90°，即∠BFC﹣∠BAC=90°，

∴∠EDO=∠BFC，

∴DE∥AB；

（2）设AB所在直线解析式为：y=kx+b，

将点A（﹣4，0）、点B（2，2）代入，

得：，

解得：，

∴AB所在直线的解析式为y=x+，

当x=0时，y=，

即点F的坐标为（0，），

由（1）知AB∥DE，

当点P与点F重合时，即点P坐标为（0，），△PDE的面积和△BDE的面积相等；

如图，将直线y=x+向上平移2×（4﹣）=个单位后直线l的解析式为y=x+，

∴直线l与y轴的交点P的坐标为（0，），

∵直线l∥AB∥DE，

∴△PDE的面积和△BDE的面积相等；

综上，点P的坐标为（0，）或（0，）．