Question

如图,MN是⊙O的直径,MN=10,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为__________.

Answer

【解析】分析：本题过B作关于直线MN的对称点B′，连接AB′，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，由对称的性质可知∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度数，再由勾股定理即可求解．

解析： 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．

此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN=30°，∴∠AON=60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC=90°，又OA=OC=5，则AC=.

故答案为.

点睛：本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．