Question

如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB于F,与DC的延长线相交于点H.

(1)求证:△BEF≌△CEH;

(2)求DE的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；

（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=CE=1，求出EH=，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵EF⊥AB

∴EF⊥CD，

∴∠BFE=∠CHE=90°，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

在△BEF和△CEH中，

，

∴△BEF≌△CEH（AAS）；

（2）∵∠B=∠HCE=60º,∠BFE=∠H=90º

∴CH=CE=BC=AD=1

EH=

∴DH=DC+CH=AB+CH=3+1=4

∴在Rt△DEH中,DE=

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CH是解决问题的关键．