Question

如图,已知正方形ABCD,将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合,并将三角板绕A点旋转,如图1,使它的斜边与BD交于点H,一条直角边与CD交于点G.

(1)请适当添加辅助线,通过三角形相似,求出的值;

(2)连接GH,判断GH与AF的位置关系,并证明;

(3)如图2,将三角板旋转至点F恰好在DC的延长线上时,若AD=,AF=.求DG的长.

Answer

（1）；（2）GH⊥AF,理由见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）连接AC，利用等量代换，求出∠BAH=∠GAC,再加上45的角，即可求出△BAH∽△CAG，进而得出结论；（2）先回答位置关系GH⊥AF，再证明，利用（1）问的结论，利用两边对应成比例且夹角相等得出△HAG∽△EAF，得出比例式即可；（3）判断出△AGD∽△FGE，得出，设出未知数，求出AG、EG的长度，利用相似即可求出DG的长度.

试题解析：

（1）连接AC

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAC=∠ABH=∠ABH=45º,

又∵△AEF是等腰直角三角形

∴∠EAH=45º

∴∠BAH+∠EAC=∠FAC+∠EAC=45º

∴∠BAH=∠GAC

∴△BAH∽△CAG.

∴

（2）GH⊥AF,理由如下:

∵在Rt△AEF中，

∴

又∵∠HAG=∠EAF

∴△HAG∽△EAF.

∴∠AHG=∠E=90º

∴GH⊥AF..

（3）∵在Rt△AGH中，

∴AG=GH

又∵∠ADG=∠E=90º,∠AGD=∠FGE

∴△AGD∽△FGE

∴.

又∵在Rt△AEF中，AF=

∴EF=5

∴

∴

∴

∴可设GH为,则

∴AF=AH+FH=

∴

∴AG=GH

∴

又∵

∴

∴DG=