Question

已知:如图,直线与坐标轴交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于点B(2，0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点D是抛物线在第三象限图象上的动点,是否存在点D,使得△DAC的面积最大,若存在,请求这个最大值并求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)过点D作DE⊥x轴于E,交AC于F,若AC恰好将△ADE的面积分成1:4两部分,请求出此时点D的坐标.

Answer

（1）；（2）存在，D,最大值为；（3）D

【解析】试题分析：（1）利用一次函数求出点A的坐标，把A、B的坐标代入二次函数解析式即可；（2）设出点D的坐标，再把点F的坐标代入AC求出，△DAC的面积=△DAF的面积+△DFC的面积,即可求出面积的最大值；（3）AC恰好将△ADE的面积分成1:4两部分，所以出现两种情况：DF:EF=1:4， DF:EF=4:1，分类讨论即可.

试题解析：

(1)在中,当,即点A的坐标为

将A,B代入得

解得

∴抛物线的解析式为:

(2)设点D的坐标为,则点F的坐标为

∴DF=

∴

∵抛物线开口向下

∴当时, 存在最大值

又∵当时,

∴存在点D,使得△ADC的面积最大,最大值为

(3)由题意可得△ADE的面积分成1:4两部分即是点F将DE分成1:4两部分

①当DF:EF=1:4时

解得或 (不合题意,舍去)

当时,

∴点D的坐标为

②当DF:EF=4:1时

解得 (不合题意,舍去)或 (不合题意,舍去)

综上所述存在点D使得AC恰好将△ADE的面积分成1:4两部分

点睛：本题的关键是存在面积最大的问题，要把三角形的分成两个三角形，从而得出关于面积的函数关系，并求出最值，第三问，因为没有指出面积比的大小关系，所以分情况讨论，求出线段的比.