Question

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王华按照相关政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件100元，出厂价为每件120元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝－2x+500.

（1）王华在开始创业的第1个月将销售单价定为150元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设王华获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于170元．如果王华想要每月获得的利润不低于10450元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？

Answer

(1)4000元;(2)175元;(3)3200元.

【解析】试题分析: （1）把x=150代入y=-2x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；

（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-100）（-2x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；

（3）令-2（x-175）2+11250=10450，求出x的值，求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

试题解析:

(1)当x=150时，y=−2x+500=−2×150+500=200，

200×(120−100)=200×20=4000，即政府这个月为他承担的总差价为4000元。

(2)依题意得，

w=(x−100)(−2x+500)=−2(x−175) ² +11250

∵a=−2<0，

∴当x=175时，w有最大值11250.

即当销售单价定为175元时，每月可获得最大利润11250.

(3)由题意得：−2(x−175) ² +11250=10450，

解得：x ₁ =195,x ₂ =155.

∵a=−2<0，抛物线开口向下，

∴当155⩽x⩽195时，w⩾10450.

又∵x⩽195，

∴当155⩽x⩽195时，w⩾10450.设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=(120−100)×(−2x+500)=−40x+10000.

∵k=−40<0.

∴p随x的增大而减小，销售单价不得高于170元，

∴当x=170时，p有最小值3200.

即销售单价定为170元时，政府每个月为他承担的总差价最少为3200元.