Question

已知抛物线经过点A（-3， 0）,F（8， 0）,B（0， 4）三点.

（1）求抛物线解析式及对称轴.

（2）若点D在线段FB上运动（不与F,B重合），过点D作DC⊥轴于点C（x, 0），将△FCD沿CD向左翻折，点B对应点为点E, △CDE与△FBO重叠部分面积为S.

①试求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围.

②是否存在这样的点C，使得△BDE为直角三角形，若存在，求出C点坐标，若不存在，请说明理由；

（3）抛物线对称轴上有一点M,平面内有一点N,若以A,B,M,N四点组成的四边形为菱形，求点N的坐标；

Answer

（1）, 对称轴;(2) ①;②存在, 或; (3) .

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法即可求出;(2) ①C点的位置应分两种情况进行讨论，当C在OF的中点或在中点与F之间时，重合部分是△CDE；当C在OF的中点与O之间时，重合部分是梯形，就可以得到函数解析式．②分△BDE以点B为直角顶点和△BDE以点E为直角顶点，两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，求出OE的长，就可以得到C点的坐标;(3)①AB为边，②AB为对角线,分两种情况分析讨论就能得到答案.

试题解析:

（1）设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-8),把(0,4)代入得4=a×3×(-8),解得,

∴

此时,抛物线的对称轴为:直线

（2）①

②当∠BED=90°时，△BOE∽△ECD

∴,,

∴EO=2

∴EC=3

∴

当∠EBD=90°时，△EOB∽△BOF

∴EO=2，

∴EC=(2+8)/2,

∴

(3)①以AB为边，以B为圆心，AB为半径画圆交对称轴于两点，

,

由平移至得,

,,

以A为圆心，AB为半径画圆，此时与对称轴没有交点，

故不存在.

②AB为对角线，直线AB的解析式为： ，

则AB的中垂线MN的解析式为： ,

当时 ，y=-1

∴,.

综上所述： ， ， .

点睛:此题综合考查了相似综合题,其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数最值的求法，相似三角形的判定与性质以及多边形面积的求法等知识点. 解答此类关于函数的综合性应用题要善于设点，然后利用点与直线的关系或者点与其他函数的关系，然后把题中所有可能用到的点用只含一个未知数的方程表达出来.此题难度较大，注意掌握函数思想、分类讨论思想与树形结合思想的应用.