Question

如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°.得出∠ABC=90°，即可得出结论；

(2) 在RtΔBDF中，利用三角函数即可求出DF的长度.

【解析】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，∴∠A+∠DBA=90°，

∵ 弧BD=弧BD，∴∠A=∠E，

∵∠CBD=∠E，∴∠CBD=∠A ，

∴∠CBD +∠DBA=90°，∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线.

（2）【解析】
∵∠BED=30°，

∴∠A=∠E=∠CBD=30°，

∴∠DBA=60°，

∵点E为弧AD的中点，

∴∠EBD=∠EBA=30°，

∵⊙O半径为2，

∴AB=4，BD=2，AD= .

在RtΔBDF中，∠DBF=90°，

，

∴DF.

“点睛”本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、三角函数等知识，熟练掌握切线的判定，由三角函数求出直径是解决问题（2）的关键.