Question

如图，BC=2，A为半径为1的⊙B上一点，连接AC，在AC上方作一个正六边形ACDEFG，连接BD，则BD的最大值为___________。

Answer

【解析】由正六边形的性质得出AC=CD，∠ACD=120°，把△ABC和⊙B绕点C旋转120°得△DHC和⊙H，BH的延长线于⊙H的交点M，作CN⊥BM于N，则BM的长度就是DB达到的最大值，∠BCH=120°，CH=CB=2，BN=HN，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出∠B=∠CHB=30°，由直角三角形的性质得出CN=BC=1，由勾股定理得出BN==，得出BH=2BN=2，求出BM=BH+HM=2+1即可.

【解析】
∵六边形ACDEFG是正六边形，

∴AC=CD，∠AC（6-2）×180°÷6=120°，

把△ABC和⊙B绕点C旋转120°得△DHC和⊙H，BH的延长线与⊙H的交点为M ，

作CN⊥BM于N，如图所示：

则BM的长度就是DB达到的最大值，∠BCH=120°，CH=CB=2，BN=HN，

∴∠B=∠CHB=（180°-120°）÷2=30°，

∴CN=BC=1，

∴BN==，

∴BH=2BN=2，

∴BM=BH+HM=2+1，

即BD的最大值为2+1，

故答案为：2+1.

“点睛”本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质、旋转的性质 、等腰三角形的性质，三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质和旋转的性质是解决问题的关键.