Question

如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO。

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长。

Answer

（1）证明见解析;（2）BC=.

【解析】（1）连接OB，根据根据平行线的想知道的∠POA=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠PBO=∠PAO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，于是得到结论；

（2）过O作OH⊥BC于H，则CH=BC，根据勾股定理得到OP=，解直角三角形即可得到结论.

证明：（1）连接OB，∵∠BCA= ，又∵BC∥OP，

∴∠POA= ，∴∠POA=

又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP

∴∠PBO=

又∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OBP=90°

又OB为⊙O的半径，∴PB为⊙O的切线。

（2）本问方法众多，下面提供一种方法，其它情况酌情给分。

过O作OH⊥BC于H，则CH=

在Rt△AOP中，OP2=PA2+OA2=32+12=10，又∵OP>0，∴OP=

∵∠POA= ，∴cos∠BCA=cos∠POA=

在Rt△OHC中，OC=1，cos∠BCA=即，∴CH=

∴BC=2CH=

“点睛”本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.