Question

【问题提出】:如图(1),已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB,C为公路BD上的酒店,从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,点D选在何处时,所用时间最短?

【特例分析】:若,则时间,当a为定值时,问题转化为:在BC上确定一点D,使得的值最小.如图(2),过点C做射线CM,使得.

(1)过点D作,垂足为E,试说明: ;

(2)请在图(2)中画出所用时间最短的登陆点^'.

【模型运用】:

(3)如图(3),海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m,BC=300m.救生员在C点处发现标志A处有人求救,立刻前去营救,若救生员在岸上跑的速度都是,在海中游泳的速度都是,求救生员从C点出发到达A处的最短时间.

Answer

(1) 说明见解析; (2)作图见解析;(3)时间为.

【解析】（1）利用在Rt△BCM中，DE=CD×sin30°，进而求出即可；

（2）首先过点A作AE⊥CM交CB于点D/，则D/点即为所用时间最短的登陆点，由（1）问可知，D/E/=，AD/+最短，即为AD/+D/E/最短；

（3）首先过点C做射线CM，使得sin∠BCM=，进而求出D点位置；

（4）由救生员在岸上跑的速度都是6m∕s，在海中游泳的速度都是2m∕s，,得出sin∠BCM=，可得sin∠DAB=，进而得出时间.

解:(1)如图①，

∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，

在Rt△BCM中，DE=CD×sin30°，

∴DE=.

(2)如图(1)过点A作AE⊥CM交CB于点D/,

则D/点即为所用时间最短的登陆点.

理由如下:由第(1)问可以知道,D′E′=.

AD′+最短,即为AD′+D′E′最短.

由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中,垂线段最短.

(3)∵救生员在岸上跑的速度都是6m/s,在海中游泳的速度都是2m/s,

∴此时,可得,

∴在Rt△ADB中,AB=300,

AD=225, DB=75, CD=300-75.

∴时间为.

 “点睛”此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用，根据题意得出sin∠BCM的值是解题关键.