Question

如图，抛物线与x轴交于点和A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）。

（1）求抛物线解析式

（2）点P是抛物线BC段上一点，PD⊥BC，PE∥y轴，分别交BC于点D、E。当DE=时，求点P的坐标。

（3）M是平面内一点，将符合（2）条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后，点P、D、E的对应点分别是。设的中点为N，当抛物线同时经过与N时，求出的横坐标。

Answer

（1）;（2）P（2，3）;（3）点D’的横坐标为.

【解析】（1）利用两点式将点C代入即可得到解析式；（2）由△PDE∽△BOC得出PE=2，列出方程即可求出点P的坐标；（3）根据根据等积法利用勾股定理解得出NH， 再利用方程求出点D’的横坐标.

【解析】
（1）设y= ，把C（0，2）代入解得a=

∴

（2）说明△PDE∽△BOC

由DE=得出PE=2

列出方程：

解得x1=x2=2，得P（2，3）

（3）在备用图上画出旋转后的图形，抛物线经过D’与N点。

∵∠=90°,N是斜边的中点，

∴

根据等积法，

根据勾股定理解得NH=

设D’(x， )，则N（x-,），把N代入抛物线得

=

解得x=.

答点D’的横坐标为.

“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数性质等知识，解本题的关键是相似三角形的性质的运用，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．