Question

如图,已知点A的坐标为（-2，0），直线与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线过A、B、C三点.

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标.

（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？

Answer

（1）（1）B（4，O），C（0，3），抛物线的解析式为顶点D的坐标为；（2）当点P坐标为（3，）时，四边形DEFP为平行四边形；（3）当t为或或时，存在△QMN为等腰直角三角形．

【解析】试题分析：（1）由直线y=-+3的解析式即可得B，C两点的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据抛物线的解析式即可得抛物线的解析式；（2）设点P坐标为则点F的坐标为（m，-m+3），根据四边形DEFP为平行四边形，则PF=DE，由此列方程求得m的值，即可得点P的坐标；（3）分别以点M、N、Q为直角顶点讨论解决即可.

试题解析：（1）B（4，O），C（0，3）．

抛物线的解析式为

顶点D的坐标为

（2）把x=1代入

因点P为第一象限内抛物线上一点，所以可设点P坐标为

点F的坐标为（m，-m+3）．若四边形DEFP为平行四边形，则PF=DE

即-m2+m+3-（-m+3）=

解之，得m1=3,m2=1（不合题意，舍去）．

∴当点P坐标为（3，）时，四边形DEFP为平行四边形．

（3）设点M的坐标为（n，-），MN交y轴于点G．

∽∆BAC

①当∠Q1MN=90°，MN=MQ2=OG时，解之，MN=2．

解之，

②当时，容易求出

③当∠MQ3N=90°，Q3M=Q3N时，NM=Q3K=OG

解之，得MN=3．

解之，得n=2，即

MN的中点K的坐标为即

∴当t为或或时，存在△QMN为等腰直角三角形．

考点：二次函数综合题.