Question

如图,已知抛物线y=﹣x²+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标；

（2）求证：∠ABC=90°；

（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) A（1，1）, B（2，0），C（-1，-3）;(2)证明见解析;(3) 存在满足条件的点P，（ ，

);(4) 存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（-1，0）或（，0）或（，0）．

）；

【解析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；

（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；

（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；

（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．

【解析】
（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，

∴抛物线顶点坐标A（1，1），

联立抛物线与直线解析式可得，解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）证明：

由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），

∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，

AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°；

（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，

设P（t，﹣t2+2t），则G（t，t﹣2），

∵点P在直线BC上方，

∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣（﹣1）]=  PG=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当t=时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（， ），

即存在满足条件的点P，其坐标为（， ）；

（4）∵∠ABC=∠ONM=90°，

∴当△OMN和△ABC相似时，有或，

设N（m，0），

∵MN⊥x轴，

∴M（m，﹣m2+2m），

∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，

①当时，即=，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；

②当时，即=，解得m=或m=或m=0（舍去）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

“点睛”此题考查了二次函数的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．