Question

如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100（＋1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上. 

（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.

（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

Answer

(1) AC之间的距离为200海里，AD的距离为200（—1）海里;(2)无触礁危险。

【解析】试题分析: （1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；

（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．

试题解析:

(1)如图过C作CE⊥AB,

由题意得：∠ABC=45°,∠BAC=60°，

设AE=x海里，

在Rt△AEC中,CE=AE⋅tan60°=x；

在Rt△BCE中,BE=CE=x.

∴AE+BE=x+x=100(+1)，

解得：x=100.

AC=2x=200.

在△ACD中,∠DAC=60°,∠ADC=75°,则∠ACD=45°.

过点D作DF⊥AC于点F，

设AF=y,则DF=CF=y，

∴AC=y+y=200，

解得：y=100(−1)，

∴AD=2y=200(−1).

答：A与C之间的距离AC为200海里,A与D之间的距离AD为200(−1)海里。

(2)由(1)可知,DF=AF=×100(−1)≈126.3海里，

∵126.3>100，

所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险。