Question

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。

(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。

Answer

（1）相切；证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）通过分析，直线与圆O已经有一个公共点，连接半径0C，只要证明OC⊥PC即可；（2）根据AD是切线和AD∥BC证明AP⊥BC，利用垂径定理计算出CM＝BM＝3，在Rt△AMB中，利用勾股定义计算出AM的长，在Rt△OMC中，利用勾股定理建立方程计算出圆O的半径的长，最后证明△OMC～△OCP，利用相似三角形的对应边成比例计算出PC的长.

试题解析：(1) 直线PC与圆O相切.

连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN.

∵AB//CD，

∴ÐBAC=ÐACD.

∵ÐBAC=ÐBNC，

∴ÐBNC=ÐACD.

∵ÐBCP=ÐACD，

∴ÐBNC=ÐBCP.

∵CN是圆O的直径，

∴ÐCBN=90°.

∴ÐBNC+ÐBCN=90°，

∴ÐBCP+ÐBCN=90°.

∴ÐPCO=90°，即PC^OC.

又∵点C在圆O上，

∴直线PC与圆O相切.

(2) ∵AD是圆O的切线，

∴AD^OA，即ÐOAD=90°.

∵BC//AD，

∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC.

∴MC=MB.

∴AB=AC.

在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，

由勾股定理，得AM===6.

设圆O的半径为r.

在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，

∴(6-r)2+32=r2.

解得r=.

在△OMC和△OCP中，

∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，

∴△OMC～△OCP.

∴=，即 =.

∴PC=.

考点：1切线的性质和判定，2勾股定理，3相似三角形的性质和判定.