Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,1），直线l：.动点P满足条件：

①P在这个平面直角坐标系中；

②P到A的距离和P到l的距离相等；

(1)求点P所经过的轨迹方程，并在网格中绘制这个图像。（提示：平面直角坐标系中两点之间的距离可以通过勾股定理来求得）

(2)已知直线，小明同学说，这条直线与（1）中所绘的图像有两个交点?你能说明小明为什么这么说吗？

(3)经过了上述的计算、绘图，小明发现，如果第（2）问的两个交点分别为B、C，那么，过的中点M作直线l的垂线，垂足为H，连接BH、CH，所得到的三角形BCH是个特殊的三角形，你能说明它是什么三角形吗？为什么？

Answer

(1)，绘图见解析;(2)理由见解析; (3)是以为直角的直角三角形,理由见解析.

【解析】试题分析:（１）设P的坐标为，再由Ａ点坐标，利用两点之间的距离公式分别表示出P到A的距离和P到l的距离，由距离相等列出关系式，整理后即可得到点P所经过的轨迹方程；（２）两方程联立，根据根的判别式即可判断得出结论；（３）利用梯形的中位线定理即可得到,易得是以为直角的直角三角形．

试题解析:

(1)设P的坐标为，由题意得：

两边平方得：

，图形为一个抛物线

抛物线直线方程联立得：

故它们有两个交点。

(3)如图，过作于，过作于由（1）中的条件得：

显然，是梯形的中位线。

即,易得是以为直角的直角三角形。