Question

如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度;（2）AB＝10,点C的坐标为（14，12）;（3）当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，);（4）当或时, OP与PQ相等．

【解析】试题分析: （1）根据题意，观察图象可得x与t的关系，进而可得答案；

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，易得BF=8，OF=BE=4，进而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；进一步易得△ABF≌△BCH，再根据BH与OG的关系，可得C的坐标；

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，易得△APM∽△ABF；进而可得对应边的比例关系，解可得AM、PM与t的关系，由三角形面积公式，可得答案．

（4）此题需要分类讨论：当P在BC上时，求得t的值；当P在CD上时，求得t的值；即当t=时；当P在BA上时，求得t的值．

试题解析:

（1）Q(1,0), Q的图象是一条直线,且过点(11,0).且点P运动速度每秒钟1个单位长度.

（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．

在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，

所以AB＝10．

由△ABE≌△BCF，

知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．

所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．

因此点C的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．

因为PM//BE，

所以，

即．

因此．

于是．

设△OPQ的面积为(平方单位)，

那么，定义域为0≤≤10．

因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．

（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，

当P在BC上时,8+(t−10)=(t+1),解得：t=−15(舍去)

当P在CD上时,14−(t−20)= (t+1),解得：t=，

即当t=时，OP与PQ相等。

当P在BA上时,t=,OP与PQ相等,

∴当或时, OP与PQ相等．

点睛：主要考查的图形与函数的综合应用，要熟练掌握相似的性质和正方形的性质，并能够将它们与二次函数的应用有效的结合起来；解决此类问题，注意数形结合的思想的应用．