Question

在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．

（1）如图①，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？

（2）若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？

（3）若点P在CD的延长线上，如图③，请直接写出结论．

Answer

（1）在图①中BE、DF、EF的数量关系：BE-DF=EF，证明见解析；

（2）在图②中BE、DF、EF的数量关系：DF-BE=EF，证明见解析；

（3）在图③中BE、DF、EF的数量关系：DF+BE=EF.

【解析】试题分析：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF，理由为：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=DF，根据AF-AE=EF，等量代换即可得证；（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF，理由同（1）；（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，理由同（1）．

试题解析：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；

证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴DF-BE=EF．

（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴DF-BE=EF．

（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，

理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE+AF=EF，

∴DF+BE=EF．

点睛：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定时，关键是选择恰当的判定条件.要注意三角形间的公共角和公共边，必要时添加适当的辅助线构造三角形.