Question

将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer

见试题解析

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；

（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．

试题解析：(1）证明：（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．

∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．

在△ABE和△AD′F中∠D′=∠B，AB=AD′，∠1=∠3

∴△ABE≌△AD′F（ASA）．

（2）【解析】
四边形AECF是菱形．

证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．

又∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

又∵AF=AE，

∴平行四边形AECF是菱形．

考点：全等三角形的判定；菱形的判定