Question

直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若FG＝4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）48

【解析】试题分析：（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，继而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；

（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案.

试题解析：（1）连接FO，

∵ OF＝OC，

∴ ∠OFC＝∠OCF．

∵CF平分∠ACE，

∴∠FCG＝∠FCE．

∴∠OFC＝∠FCG．

∵ CE是⊙O的直径，

∴∠EDG＝90°，

又∵FG∥ED，

∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，

∴∠GFC＋∠FCG＝90°

∴∠GFC＋∠OFC＝90°，

即∠GFO＝90°，

∴OF⊥GF， 

又∵OF是⊙O半径，

∴FG与⊙O相切．

（2）延长FO，与ED交于点H，

由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，

∴四边形FGDH是矩形．

∴FH⊥ED，

∴HE＝HD．

又∵四边形FGDH是矩形，FG＝HD，

∴HE＝FG＝4.

∴ED＝8. 

∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，

∴OH＝OE2－HE2＝52－42＝3．

∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8． 

S四边形FGDH＝12(FG＋ED)•FH＝12×(4＋8)×8＝48．