Question

抛物线的顶点在直线上，过点F的直线与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥轴于点A，NB⊥轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；

（2）设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）若射线NM交轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．

Answer

（1）顶点坐标为（－2 , ），=2；（2）N（a，）；（3）M（－3 ,）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；

（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；

（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．

试题解析：（1）

∴顶点坐标为（－2 , ）

∵顶点在直线上，

∴－2+3=，

得=2

（2）∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为

即点N（a，）

过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,

∴

而=＝

∴＝，NF=NB

（3）连结AF、BF

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，

由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,

∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,

∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°

∵∠MAB+∠NBA=180°，

∴∠FBA+∠FAB=90°

又∵∠FAB+∠MAF=90°

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

又∵∠FPA=∠BPF，

∴△PFA∽△PBF，

∴

过点F作FG⊥轴于点G,在Rt△PFG中，PG==，

∴PO=PG+GO=，

∴P（－ , 0）

设直线PF：y=kx+b把点F（－2 , 2）、点P（－, 0）代入y=kx+b

解得=，=，

∴直线PF：

解方程，得=－3或=2（不合题意，舍去）

当=－3时，=，

∴M（－3 ,）

考点：二次函数综合题．