Question

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．

试题解析：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，

∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；

（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，

∴CD===4， ∴S△OCD===8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=， ∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8﹣，

∴阴影部分的面积为8﹣．

考点：（1）切线的判定；（2）扇形面积的计算