Question

若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；

（2）如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线（要求：保留作图痕迹）；

（3）在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．

Answer

（1）108°，72°，108°，72°． （2）图形见解析（3）∠BAD的度数为80°．

【解析】试题分析：（1）先由对角线AC是黄金线，可知△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：①AB=BC；②AC=BC.根据黄金四边形的定义和四边形的内角和求解即可；

（2）①以A为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D1，②以C为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D2，③连接AD1，CD1，AD2，CD2.

（3）先根据∠BAC=30°，算得∠ABC=120°，再分情况讨论：

i：当AC为黄金线，则AD=CD，或AD=AC，根据等腰三角形及黄金四边形进行计算即可；ii：当BD为黄金线时，分三种情况：①当AB=AD时，②当AB=BD时，③当AD=dD时。

试题解析：（1）∵在四边形ABCD中，对角线AC是黄金线，

∴△ABC是等腰三角形，

∵AB＜AC，

∴AB=BC或AC=BC，

①当AB=BC时，

∵AB=AD=DC，

∴AB=BC=AD=DC，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

此种情况不符合黄金四边形定义，

②AC=BC，

同理，BD=BC，

∴AC=BD=BC，易证得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，

∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，

且∠DCA＜∠DCB，

∴∠DAC＜∠CAB

又由黄金四边形定义知：∠CAB=2∠DAC，

设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，

则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，

∴∠DAB=∠ADC=3x°，

而四边形的内角和为360°，

∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，

答：四边形ABCD各个内角的度数分别为108°，72°，108°，72°．

（2）由题意作图为：

（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，

ⅰ）当AC为黄金线时，

∴△ACD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，AC＞BC，

∴AD=CD或AD=AC，

当AD=CD时，则AB=BC=CD=AD，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

如图3，此种情况不符合黄金四边形定义，

∴AD≠CD，

当AD=AC时，由黄金四边形定义知，∠ACD=∠D=15°或60°，

此时∠BAD=180°（不合题意，舍去）或90°（不合题意，舍去）；

ⅱ）当BD为黄金线时，

∴△ABD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

①当AB=AD时，△BCD≌△BAD，

此种情况不符合黄金四边形定义；

②当AB=BD时，AB=BD=BC=CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠CBD=60°，

∴∠A=30°或120°（不合题意，舍去），

∴∠ABC=180°（不合题意，舍去），

此种情况也不符合黄金四边形定义；

③当AD=BD时，设∠CBD=∠CDB=y°，则∠ABD=∠BAD=（2y）°或，

∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，

当∠ABD=2y°时，y=40，

∴∠BAD=2y=80°；

当时，y=80°，

∴；

由于∠ADB=180°-40°-40°=100°，

∠BDC=80°，

∴∠ADB+∠BDC=180°，

∴此种情况不能构成四边形，

综上所述：∠BAD的度数为80°．