Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP，DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．

（1）当t=2时，求PD的长；

（2）如图2，当点Q运动至点B时，连结DE，求证：DE∥AP.

（3）如图3，连结CD．

①当点E恰好落在△ACD的边上时，求所有满足要求的t值；

②记运动过程中▱PEQD的面积为S，▱PEQD与△ACD的重叠部分面积为S₁，当＜时，请直接写出t的取值范围是 ______ ．

Answer

（1）（2）证明见解析（3）①分三种情况讨论：满足要求的t的值为或或．②当＜时， t的取值范围是＜t＜．

【解析】（1）如图1中，作DF⊥CA于F，

当t=2时，AP=2，DF=AD•sinA=5×=3，

∵AF=AD•cosA=5×=4，

∴PF=4-2=2，

∴PD===．

（2）如图2中，

在平行四边形PEQD中，

∵PE∥DQ，

∴PE∥AD，

∵AD=DQ．PE=DQ，

∴PE=AD，

∴四边形APED是平行四边形，

∴DE∥AP．

（3）①分三种情况讨论：

Ⅰ．当点E在CA上时，

DQ⊥CB（如图3所示），

∵∠ACB=Rt∠，CD是中线，∴CD=BD，∴CQ=CB=3即：t=

Ⅱ．当点E在CD上，且点Q在CB上时 （如图4所示），

过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，

易证Rt△PGE≌Rt△PHQ，∴PG=DH=4，

∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，

∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC

∴在Rt△CEG中，tan∠ECG===，∴t=

Ⅲ．当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图5所示），过点E作EF⊥CA于点F，

∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．

∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，

∴PF=PC=，PE=DQ=11-2t，

∴在Rt△PEF中，cos∠EPF===

∴t=

综上所述，满足要求的t的值为或或．

②如图6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．

当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的时，PE′：EE′=2：1，

由（Ⅱ）可知CG=4-t，GE=2t-3，

∴PG=8-t-（4-t）=4，

∵E′G′∥EG，

∴===，

∴PG′=，E′G′=（2t-3），CG′=8-t-=-t，

∵tan∠ECG==，

解得t=．

如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．

∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的，

∴PE′：EE′=2：1，

由Ⅲ可知，PG′=PC=4-t，PE′=DQ=（11-2t），

∵cos∠E′PG′==，

∴，

解得t=，

综上所述，当＜时，请直接写出t的取值范围是＜t＜．